Различие между изолятором и проводником в одномерной модели

Миниатюрная модель, представленная в предыдущих статьях, подходит для изучения и позволяет понять разницу между проводником и изолятором.

Энергетические уровни свободных атомов и энергетические зоны в твердых телах

В предыдущих статьях мы вывели аналитическое выражение плотности состояний g (ε) для нашей одномерной миниатюрной модели. Расчёт был простым, потому что мы использовали модель свободных электронов (в гамильтониане отсутствует потенциальная энергия, поэтому интегральный расчет выполняется немедленно). Однако, поскольку наша модель основана на принципе сильной механической связи, может показаться неприемлемым использовать модель свободных электронов для g (ε), даже если мы заменим массу электрона его эффективной массой. Однако определение плотности состояний, возникающих в результате взаимодействия между отдельным электроном и атомной подложкой, далеко не простое дело и заслуживает отдельной работы.

Напомним также, что мы смогли выразить энергию одиночного электрона как функцию волнового числа k, т.е. ε (k) как периодическую функцию с периодом 2/πa, где a > 0 – шаг решетки. Мы достигли этих результатов, не решая стационарное уравнение Шредингера для данного периодического потенциала, но используя известные свойства Гамильтоновой матрицы, которые позволили нам получить энергетический параметр ∆ > 0, управляющий высотой потенциального барьера между отдельными ядрами/ионами, расположенными в узлах решетки. Кстати, вышеупомянутое уравнение было решено Кронигом и Пенни в 1930 году, продемонстрировавшими существование зонной структуры спектра оператора Гамильтона (следовательно, энергетических уровней).

Другими словами, в то время как мы получили одну энергетическую зону, Крониг и Пенни получили последовательность зон, разделенных запрещенными интервалами (зазорами), как эвристически показано на рисунке 1. Эти графики могут привести к недоразумениям, поэтому их стоит обсудить. На самом деле, на первый взгляд, кажется, что энергия отдельного электрона ε (k) не является однозначной функцией волнового числа k в том смысле, что для данного k соответствуют два различных значения энергии ε (k). В действительности, красная кривая является зеркальным отображением графика для значений переменной k, не входящих в диапазон [−π/a, π/a] (первая зона Бриллюэна или ослабленная зона). Такое манипулирование графическими изображениями вызвано поведением функции ε (k), которая с периодичностью возвращает значения, принятые в ослабленной зоне.

Следовательно, две кривые относятся к двум различным зонам. В теоретической модели Кронига-Пенни зоны бесконечны и поддаются подсчету точно так же, как уровни энергии свободного атома. Эта аналогия не случайна: в то время как свободный атом обладает спектром отдельных уровней, совокупность атомов в конденсированной структуре, такой как кристалл, представляет собой спектр зон, каждая из которых состоит из непрерывного набора энергетических уровней. Переход от одной зоны к другой обычно происходит благодаря тепловой энергии.

Рисунок 1: Первые две зоны типичного спектра модели Кронига-Пенни, разделенные зазором ε

Диссипативные эффекты: от модели Друде к концепции фононов

В миниатюрной модели мы установили, что одиночный электрон движется просто потому, что на него действует силовое поле, обусловленное присутствием ядер. Ничего странного, потому что это следствие второго закона Ньютона. Аспект, который противоречит экспериментальной реальности, заключается в том, что в таком сценарии нет необходимости прикладывать электрическое поле для генерации тока в проводнике. На самом деле, это противоречие легко объясняется в том смысле, что мы пренебрегли диссипативными эффектами, которые создаются решетчатой структурой.

Во многих книгах по физике твердого тела мы читаем, что такие диссипативные эффекты возникают из-за столкновений электронов с решеткой. Но этот аргумент неточен, поскольку в узлах решетки находятся ядра или, в любом случае, положительные ионы, оказывающие притягивающее действие на электроны (мы уже упоминали об этом в предыдущей статье, но стоит еще раз рассмотреть эти концепции).

Давайте попробуем проанализировать аргументы физиков из эпохи, предшествовавшей квантовой революции. Одним из первопроходцев был немецкий физик Пауль Друде, в 1900 году предложивший следующий механизм: в металле (благодаря высокой концентрации электронов) столкновения электронов с кристаллической решеткой происходят с очень высокой частотой. Величина, обратная частоте, дает характерное время τ (порядка 10^-14 с), которое в среднем измеряет временной интервал между одним столкновением и следующим.

Кроме того, при каждом столкновении электрон полностью теряет свою кинетическую энергию; поэтому, начиная с нулевой скорости, приложение электрического поля E придает ему ускорение a = eE/m_e, где e – абсолютное значение заряда электрона. Из этого следует, что в момент следующего столкновения он будет иметь скорость vd = aτ = eEτ/me (мы рассматриваем модули соответствующих векторов, поскольку наша модель является одномерной). Как мы знаем, плотность электрического тока j является произведением плотности заряда на скорость переноса. Последнее представляет собой не что иное, как скорость дрейфа, которую мы указали выше с помощью v_d. Итак, j = nev_d = (ne²τ/m_e) E, и, учитывая, что мы рассматриваем металл, мы имеем: j = σE, из которого можно получить проводимость σ и сравнить её с экспериментальными значениями.

Данный процесс хорошо идет при комнатной температуре, но противоречит экспериментальному поведению σ как функции температуры. И здесь в игру вступает концепция фонона как результат квантования колебаний решетки. Отсюда следует, что строгое рассмотрение этой сущности требует формализма квантовой теории поля (КТП), который выходит за рамки данного изучения. Однако ничто не мешает нам интерпретировать эти процессы с феноменологической точки зрения. Если быть более точным, колебания решетки разрушают периодичность решетки, и это изменяет собственные функции энергии одиночного электрона, которые в случае идеальной периодичности являются волнами Блоха.

И наоборот, локальное изменение электронных состояний определяет изменение поля потенциальной энергии ядер/ионов. Это электрон-фононное взаимодействие, которое, вопреки ожиданиям, не исчезает при температуре, равной абсолютному нулю. Типичные эффекты КТП возникают при переходах k → k', сопровождающихся испусканием или поглощением фононов (как это происходит с электронами свободного атома при испускании или поглощении фотонов). В случае ковалентных кристаллов (и, следовательно, полупроводников, таких как кремний и германий) Бардин и Шокли ввели деформационный потенциал для описания модуляции одноэлектронных состояний в зависимости от параметра решетки, изменяющегося из-за колебаний решетки.

Другая феноменологическая интерпретация может быть дана на языке волновой механики, с применение теоремы Эренфеста. Как было установлено, временная эволюция одиночного электрона описывается как распространение волнового пакета, центр масс которого перемещается с групповой скоростью v_g. Одиночные пакеты взаимодействуют с колебаниями решетки. Результатом является модуляция электронного пакета с последующим изменением волнового числа k (отсюда переходы k → k' в КТП). Поскольку энергия ε зависит от k через функцию ε (k), конечным результатом является переход ε → ε' < ε, следовательно, происходит рассеивание энергии. Из этого следует, что если мы хотим создать электрический ток, мы должны применить электрическое поле для ускорения электронов, компенсируя соответствующую потерю энергии. Ускорения электронов как корпускулярных объектов переводятся на язык квантовой квантовой физики в переходах ε → ε' > ε.

Однако, если зона, к которой они принадлежат, заполнена, то есть каждый уровень e занят двумя электронами с антипараллельными спинами, переход ε → ε' запрещен принципом исключения Паули. Мы приходим к выводу, что структура с полностью заполненными зонами соответствует изолятору и, по большей мере, полупроводнику в том случае, когда так называемая основная зона (называемая валентной зоной, если связи ковалентны) заполнена, но отделена небольшим зазором от последующей пустой зоны.

Результаты научных наблюдений: Внимательный читатель заметит, что если зона является полностью заполненной, то в соответствии с принципом Паули происходят диссипативные переходы ε → ε' < ε. Следовательно, в принципе, диссипативные эффекты были бы невозможны и в изоляторе. Этот очевидный парадокс разрешается визуальным наблюдением, что в изоляторе электроны прочно связаны со своими соответствующими ядрами, и при приложении электрического поля, такого, чтобы разорвать связи электрон-ядро, все равно невозможно генерировать ток, если энергетическая зона заполнена (по принципу исключения Паули).