Научные заметки по электронике больших мощностей: Введение в топологические изоляторы (Часть 1)

Модель, предложенная в данном учебном пособии, изучает топологические изоляторы с помощью так называемых поверхностных состояний Тамма, которые играют фундаментальную роль не только в микроэлектронике, но и в некоторых процессах поглощения и катализа, а также в оптике.

Предпосылки

Наше исследование основано на работе Игоря Тамма, позже переосмысленной Давыдовым. Данное обстоятельство подсказало идею названия алгоритма Тамма-Давыдова. Это инновационное применение стационарной теории возмущений, которая, как известно, используется в квантовой механике для поиска решений стационарного уравнения Шредингера, когда это уравнение не может быть интегрировано в замкнутом виде.

Оригинальность алгоритма заключается в том, что он способен определять поведение возмущенных собственных функций энергии, без понимания аналитического выражения невозмущенных функций. Однако наиболее интересным аспектом является то, что присутствие примесей в кристалле запускает математический механизм, способный преобразовывать делокализованные электроны в локализованные, а затем увеличивать ширину одной зоны проводимости, способствуя появлению делокализованных электронов на поверхности изолятора.

Волны материи или волны вероятности?

В предыдущих работах, посвященных проводимости в металлах и полупроводниках, мы основывали наши аргументы на старой квантовой теории, в которой носители электрического заряда описываются волнами материи, известными как волны Блоха. Они представляют собой частный случай волн Де Бройля-Шредингера.

Кстати, для Эрвина Шредингера квадрат модуля |ψ|2 решения одноименного уравнения был плотностью электрического заряда частицы. От этой интерпретации отказались в 1932 году, когда был открыт нейтрон. В то время как для электрона правдоподобно считать плотность электрического заряда ρ = |ψ|2, для нейтральной частицы, такой как нейтрон, эта интерпретация является очевидной бессмыслицей.

С помощью оригинального концептуального эксперимента («Пулемет Борна») Макс Борн дал статистическую интерпретацию: реальная неотрицательная функция ρ (x, t) = |ψ (x, t)|2 – это плотность вероятности нахождения частицы в момент времени t в «маленьком объеме» с центром в точке, расположенной по вектору x.

Делокализованные электроны против локализованных электронов

Статистическая интерпретация Борна является основой копенгагенской интерпретации, которая является общепринятой среди физиков. Давайте внесем ясность: математические аспекты, разработанные для модели, верны, меняется только физическая интерпретация. Отсюда следует, что собственные энергетические функции (волны Блоха) uk(x) таковы, что |uk(x)|2 = плотность присутствия электронов в бесконечно малой окрестности точки абсциссы x.

Обратите внимание, что мы не говорили о вероятностях, потому что uk(x) не поддаются нормализации: интеграл от −∞ до +∞ от |uk(x)|2 расходится, в то время как по определению вероятности он должен сходиться к 1. Физически это означает, что электрон делокализован, поскольку его вероятностная волна является плоской (хотя и модулированной по амплитуде) и, как таковая, распространяется от −∞ до +∞. Кроме того, плотность присутствия электронов не зависит от изменения амплитуды a (постоянной решетки).

Это обстоятельство еще более эффективно выражает концепцию делокализованного электрона, а инвариантность при перемещении вытекает из симметрии решетки. Математически ненормализуемые собственные функции по энергии известны как собственные функции в неправильном смысле. Это выражение вытекает из того факта, что для многих физических систем (например, атома) гамильтонов оператор (который представляет наблюдаемую энергию) допускает собственные функции в собственном смысле или связанные состояния.

При изучении электропроводности предпочтение отдается термину «локализованные электроны». Последние характеризуют поведение изоляторов. На примере модели мы видели, что, изменяя амплитуду периодического потенциала, можно отличить изоляторы от проводников/полупроводников. В случае изолятора отдельные электроны локализуются в соответствующих ячейках решетки в соответствии с принципом исключения Паули (модель сильной связи): собственные энергетические функции отдельного электрона быстро исчезают на бесконечности. Следовательно, для статистической интерпретации Борна у нас есть высокая вероятность нахождения электрона, заключенного в ячейку решетки, где сосредоточена соответствующая собственная функция. Отсюда следует, что собственные энергетические функции являются не волнами Блоха, а стоячими волнами, то есть не распространяющимися.

Для металлов и полупроводников у нас есть модель слабой связи, которая возвращает делокализованные электроны. Предельным случаем является наличие свободного электрона, на котором основаны модели электропроводности металлов Друде-Лоренца и Зоммерфельда, рассмотренные ранее. Здесь электрон всегда делокализован, но длина среднего свободного пробега уменьшается из-за столкновений с решеткой. Используя язык образов, мы можем представить электрон в виде футболиста, который, избегая подкатов, умудряется достичь цели. Игрок представляет собой электрон, овальный шар – электрический заряд, а удары – столкновения с решеткой.

Частные выводы

Мы обобщили основные результаты, достигнутые в предыдущих статьях. Следующий шаг состоит в повторном использовании условий Борна-фон Кармана для реалистичного описания кристалла (проводника/полупроводника/изолятора).

Мы увидим, что эти условия «фрагментируют» отдельные энергетические зоны кристалла на прерывистые уровни. Только в этом случае возможно применение алгоритма Тамма-Давыдова, даже если в действительности Давыдов использовал модели полунепрерывных пропускающих полос.